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0의 0제곱은? 1인가? 0인가? 아니면...
알쏭달쏭 수학의 세계
 
뉴욕일보 기사입력  2014/01/26 [02:18]
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어떤 수의 0 제곱은 1이라고 배웠다. 그런데, 한편으로 0의 거듭제곱은 언제나 0이라고 한다. 그렇다면 00의 값은 0일까, 아니면 1일까?

 

 

 

00을 컴퓨터로 계산해 보면 답이 엇갈린다?

 

윈도에 내장되어 있는 계산기(공학용 보기를 이용)를 이용해서 0의 0제곱을 계산해 보면 1을 출력한다. 인터넷에서 계산기 찾아서 이용해도 같은 결과가 나온다. 그렇다면 00=1일까?

 

 

계산기(공학용)로 0의 0제곱을 계산한 결과, 1이 나온다.

 

한편, 업무용 프로그램인 엑셀(Excel)에 0의 0제곱을 입력하면 오류 메시지가 출력된다. 수학용 프로그램으로 유명한 매스매티카(Mathematica)에서도 00을 “Indeterminate(정할 수 없는, 不定)”로 처리한다.

 

엑셀로 0의 0제곱을 계산한 결과, 에러메세지가 나온다.

 

 

어떤 프로그램에서는 00을 1로 처리하고, 어떤 프로그램에서는 처리할 수 없다고 하니, 심지어 같은 회사가 만든 프로그램에서도!  참으로 이상한 일이 아닐 수 없다. 전혀 궁금하지 않다는 사람들도 많겠지만, 00을 무엇으로 생각해야 할지는 역사적으로 오랫동안 논쟁 및 고민거리의 하나였다.

 

 

 

'0'번 곱했다는 것이 무슨 뜻이며, '음수'번 곱했다는 것은 무슨 뜻일까?

 

“거듭제곱”이란 “거듭하여 자신을 곱한다”는 뜻인데, 세 번 거듭 곱하거나, 스무 번 거듭 곱하는 것은 누구나(?) 무슨 뜻인지 안다. a가 수일 때 a를 n개 곱한 것을 an으로 나타내는데, 지수 n이 자연수일 때는 그 뜻이 분명하다. 따라서 이 표기법에 따르면 지수 n이 자연수인 한 당연히 0n=0이다. 그렇다면 지수가 0이나 음수인 경우는 어떻게 될까? a를 0개 곱하거나 -3개 곱하거나 할 수는 없으므로 곧이곧대로는 정의할 수 없다. 따라서 ‘음수끼리 곱하면 양수’라는 설명을 했을 때와 마찬가지로, 어떻게 정의하는 것이 합리적인지 생각해 볼 필요가 있다. 그 열쇠를 쥔 것은 m과 n이 자연수일 때 성립하는 다음 등식, 즉 ‘지수 법칙’이다.
                                             

이 지수법칙이 음의 지수에 대해서도 성립하도록 a-3같은 것을 정의하려면, 다음과 같은 등식이 성립하는 것이 좋을 것이다.  

 

양변을 a5으로 나눠주면, a-3은 a2÷a5 임을 알 수 있다. 이 때 문제가 하나 있는데 양변을 a5으로 나누려면 이 수가 0이 아니어야 한다.

만약 a=0이라면 이런 논법이 통하지 않는다. a가 0이 아닐 때는 다음과 같다.

 

 

이렇게 음수와 0에 대해서도 지수를 정의해 주면 (밑이 0일 때는 제외하고) 고맙게도 지수법칙 am×an=am+n이 여전히 성립한다. 예를 들어, a-3×a-4=a-7임을 확인할 수 있다. 거듭제곱과 지수의 관계에 대한 이상의 설명에서 알 수 있듯, 자연수 n에 대하여 0n=0이고, 0이 아닌 수 a에 대하여 a0=1이지만, 밑과 지수가 모두 0인 00에 대해서는 아무런 정보도 주지 않는다. 그렇다면 00은 어떻게 정의하는 것이 합리적일까? 과연 합리적인 정의라는 게 가능하기는 한 걸까?

  

 

 

00은 1이라니까! 1탄, 다항식이 편해진다

 

특히 다항식과 관련한 경우, 00을 1로 두면 수식이 간단해지는 경우가 많다. 예를 들어 다음과 같은 다항식을 생각해 보자. 

  

여기에서 x3은 3차항, -5x2은 2차항이다. 7x는 1차항인데, 7x1이라 쓰면 차수를 알 수 있게 해 주므로 일관성이 있다. 남아 있는 상수항 2는 0차항으로 생각하는 것이 합리적이므로 2x0이라 쓰는 것이 편리할 것이다. 따라서 차수를 고려해서 다항식을 표현하면, 아래와 같이 쓸 수 있다.  

 

원래 다항식에 x=0을 대입하면 당연히 값이 2인데, 차수를 밝혀준 식에 대입할 경우 00= 1이어야 양변이 일치한다! 따라서 00= 1이라고 보는 것이 합리적이다.

 

 

 

00은 1이라니까! 2탄, Xx의 극한을 생각해보자

고등학교에서 배우는 극한 문제 가운데 꽤 어려운 편에 속하는 xx의 극한도 00= 1을 뒷받침하는 근거로 많이 이용됐다. xx의 그래프를 그려보면 다음과 같다. x가 양수 쪽에서 0으로 접근하면 xx는 1로 접근한다.

이처럼 극한 이론이 발전하면서 00=1로 간주하자는 주장이 크게 공감을 얻었다. 물론 모두가 그런 것은 아니어서, 예를 들어 프랑스의 위대한 수학자로 극한 이론을 엄밀하게 정립한 코시(Augustin Cauchy, 1789-1857)는 1821년에 쓴 저서에서 여전히 00은 정의할 수 없는 것으로 분류하였다.

 

 

함수 y=x의x제곱의 그래프

 

 

뫼비우스의 굴욕, 00은 다시 안개 속으로

 

1830년대에 이탈리아의 수학자 리브리(Gulielmo Libri, 1803-1869)는 00=1을 증명하는 논문을 썼는데 내용이 다소 명확하지 못하여, S라는 서명으로만 알려진 익명의 수학자의 비판을 받았다. 우리에게 “뫼비우스의 띠”로 유명한 독일의 수학자 뫼비우스(F. Mobius, 1790-1868)는 얼마 후 리브리의 주장을 옹호하는 논문을 한 편 발표하였는데, 그의 주장은 다음과 같다. 

 

 

 

 

 

00은 1이라는 또 다른 주장

 

가끔 a0=1에 대하여 “거듭제곱은 1에 어떤 수를 곱하는 과정이다. 그런데 지수가 0이면 아무것도 곱하지 않았다는 뜻이므로 그 값은 1이 될 수밖에 없다”는 식으로 설명하는 사람을 볼 수 있다. 이것이 거듭제곱을 이해하는 한 가지 방편일 수는 있겠으나, 엄밀히 말하면 앞뒤가 바뀐 설명이다. 거듭제곱을 이런 식으로 생각하는 것은 “a0=1이므로 an은 (지수 법칙에 따라) 1에 a를 n번 곱하는 것이다”와 같은 말이다. 즉, a0=1을 가정한 상태에서 하는 설명이므로, 이로부터a0=1이 된다고 말하는 셈이다. 따라서 이런 설명을 이용해서 00= 1이라고 주장하는 것은 옳지 않다.

 

 

 

00에 대한 세 줄 요약

 

수식도 많고, 글도 길어져서 필자도 미안하게 생각한다. 읽기 힘든 분을 위하여 마무리를 겸하여 내용을 요약하면 다음과 같다.

1. 00은 정의하지 않는다. (값을 아직도 모른다는 말이 아니다.)
2. 그렇지만 ‘주의하여 사용한다면’ 편의상 00= 1로 정의할 수 있다.
3. 위대한 수학자도 실수할 때가 있다.

 

 

 

 

   글 박부성 | 경남대학교 수학교육과 교수 서울대 수학교육과를 졸업하고, 서울대 수학과에서 석사, 박사 학위를 받았다. 고등과학원 연구원을 거쳐 현재 경남대학교 수학교육과 교수로 재직 중이다. 저서로는 <재미있는 영재들의 수학퍼즐 1,2>와 <천재들의 수학노트>가 있다. 또한2014년 서울 국제수학자대회 조직위원회 문화분과부위원장으로 대회를 준비하고 있다.

 

<파이낸셜 뉴스>

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기사입력: 2014/01/26 [02:18]  최종편집: ⓒ 뉴욕일보
 
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